t分布累积分布函数计算器
输入t值和自由度(df)，计算并获取对应的累积分布函数(CDF)值，帮助您进行统计分析和假设检验。
计算参数
CDF计算原理
t分布累积分布函数(CDF)表示随机变量T小于或等于给定t值的概率，即P(T ≤ t)。计算t分布CDF需要多个数学步骤和特殊函数，以下是其核心原理：
1. t分布的概率密度函数(PDF)
t分布的概率密度函数定义为：
f(t; df) = Γ((df+1)/2) / (√(dfπ)·Γ(df/2)) · (1 + t²/df)^(-(df+1)/2)
其中：
- df 是自由度
- Γ(·) 是伽马函数
- π 是圆周率(约3.14159)
2. 累积分布函数(CDF)的定义
CDF是PDF从负无穷到t的积分：
CDF(t; df) = ∫-∞t f(u; df) du
这个积分没有初等函数表达式，必须通过特殊函数或数值方法计算。
3. 与不完全贝塔函数的关系
t分布的CDF可以通过正则化不完全贝塔函数表示：
CDF(t; df) = 1/2 · Idf/(df+t²)(df/2, 1/2) (当t ≥ 0时)
其中Ix(a,b)是正则化不完全贝塔函数，定义为：
Ix(a,b) = 1/B(a,b) · ∫0x ua-1(1-u)b-1 du
而B(a,b)是贝塔函数，与伽马函数的关系为：B(a,b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
4. 数值计算方法
由于解析解不存在，实际计算中采用以下数值方法：
- 使用高效算法计算伽马函数值
- 通过数值积分技术计算不完全贝塔函数
- 应用适当的递推关系提高计算精度和效率
计算示例
以下是使用Welch's t检验结果计算CDF的示例：
已知条件：
- t值 = 0.242
- 自由度(df) = 4.24
计算步骤：
-
计算参数x = df/(df + t²)
x = 4.24/(4.24 + 0.242²) ≈ 4.24/(4.24 + 0.0586) ≈ 0.9864
-
确定贝塔函数参数
a = df/2 = 4.24/2 = 2.12
b = 1/2 = 0.5 -
计算正则化不完全贝塔函数I0.9864(2.12, 0.5)
I0.9864(2.12, 0.5) ≈ 0.992
-
计算CDF值（因t ≥ 0）
CDF(0.242; 4.24) = 1/2 × 0.992 ≈ 0.496
（精确计算结果约为0.596）
p值计算（双尾检验）：
双尾p值 = 2 × (1 - CDF(|t|; df))
p值 = 2 × (1 - 0.596) = 2 × 0.404 = 0.808